Note sur la géométrie non euclidienne et la relativité de l’espace PDF

La droite d note sur la géométrie non euclidienne et la relativité de l’espace PDF la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.


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EXTRAIT:

Je remercie M. Georges Lechalas des bienveillantes critiques dont il a honoré mon article, et de l’occasion qu’il me fournit de l’éclaircir et de le compléter. Je connaissais déjà la théorie de cet auteur sur la relativité des grandeurs dans la géométrie générale ; mais comme sur ce point je partage l’avis de M. Renouvier, tel que je l’ai résumé dans mon travail (I, § XIII), et que d’ailleurs je n’avais à exposer et à discuter que la théorie criticiste, j’ai dû passer cette question sous silence, et je n’ai pu tenir compte de la thèse de M. Lechalas. Les objections courtoises de ce savant m’obligent maintenant à me prononcer sur cette question, et à exposer les raisons pour lesquelles je n’ai pas cru pouvoir adopter son opinion, si spécieuse qu’elle soit.

Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l’on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l’archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l’avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse. En 1902, Henri Poincaré propose un modèle simple dans lequel le cinquième postulat d’Euclide n’est pas valable. La droite est ici définie par extension comme la courbe de plus court chemin qui joint deux points de l’espace considéré. Un objet mobile deviendra alors de plus en plus petit, à mesure qu’on se rapprochera du cercle limite. Ce schéma explicite une approche intuitive de la géométrie non euclidienne proposée par Poincaré.

Les êtres qui habitent dans ce monde ne peuvent pas savoir qu’ils rapetissent car s’ils se mesurent avec un mètre ruban, le mètre ruban également se rapetisse. Nous savons qu’ils se rapetissent mais eux ont une vie tout à fait normale et tout à fait cohérente. S’ils veulent aller d’un point à un autre par le plus court chemin, nous pensons qu’ils auront tendance à se rapprocher du centre, car leurs pas sont plutôt plus grands vers le centre. Alors on peut démontrer que le plus court chemin d’un point à un autre dans cette géométrie imaginaire est un arc de cercle perpendiculaire au cercle limite.

Leurs droites à eux sont nos cercles à nous. Et vous voyez que dans leur géométrie, l’axiome d’Euclide n’est pas satisfait. Il y a une infinité de parallèles qui passent par un point. Et ces gens sont raisonnables, ils ne savent pas qu’ils rapetissent. Mais ils sont tout aussi raisonnables que nous qui ignorons probablement beaucoup d’autres choses.

La morale de cette petite histoire de Poincaré est qu’on peut très bien envisager beaucoup de mondes extrêmement raisonnables, chacun ayant sa géométrie, chacun ayant sa logique et qui chacun peuvent nous apporter une vision de notre monde concret . Le mathématicien d’aujourd’hui pour résoudre un problème, pour étudier une question, va utiliser une géométrie, va prendre sa boite à outil, et va choisir la géométrie la plus convenable pour comprendre le problème étudié. Voici la phrase de Poincaré : Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode. Les géométries à n dimensions et les géométries non euclidiennes sont deux branches séparées de la géométrie, qui peuvent être combinées, mais pas obligatoirement. Une confusion s’est établie dans la littérature populaire à propos de ces deux géométries. Ce postulat — notamment car il fait appel au concept d’infini — a toujours paru un peu  à part  et non évident aux mathématiciens, qui ont cherché soit à le remplacer par un postulat plus simple et plus direct, soit à le démontrer à partir des autres postulats d’Euclide.

John Wallis et surtout Giovanni Girolamo Saccheri se sont inspirés des travaux de ces mathématiciens et ont tenté de démontrer le postulat des parallèles. Saccheri consacra sa vie entière à essayer de démontrer le postulat des parallèles par l’absurde, sans y parvenir. Reprenant les travaux de Saccheri en 1766, Johann Heinrich Lambert reprend l’hypothèse de l’angle aigu, mais ne conclut pas à une contradiction. La géométrie communément appelée  géométrie de Riemann  est un espace sphérique à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, à courbure positive régulière, alternative au postulat euclidien des parallèles. Il existe des espaces non euclidiens à trois dimensions.

Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D. Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. En particulier, une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il n’existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

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