Vibrations linéaires: Systèmes oscillatoires linéaires PDF

Un système résonant peut accumuler une énergie, vibrations linéaires: Systèmes oscillatoires linéaires PDF celle-ci est appliquée sous forme périodique, et proche d’une fréquence dite  fréquence de résonance . Un système susceptible d’entrer en résonance, c’est-à-dire susceptible d’être le siège d’oscillations amorties, est un oscillateur. Un tel système a la particularité de pouvoir emmagasiner temporairement de l’énergie sous deux formes : potentielle ou cinétique. L’oscillation est le phénomène par lequel l’énergie du système passe d’une forme à l’autre, de façon périodique.


Dans cet ouvrage, nous traiterons les vibrations linéaires, en utilisant le formalisme de Lagrange. Nous déduisons les équations d’Euler Lagrange à partir du principe de moindre action pour les systèmes ayant le nombre de degrés de liberté quelconque. Nous étudierons les cas des systèmes à un degré de liberté, libres, amortis et forcés. Pour les systèmes amortis, nous montrerons qu’ils peuvent être apériodiques, apériodiques critique ou pseudo périodiques, et pour les systèmes forcés, nous présenterons le phénomène de battement et le phénomène de résonance. Par la suite, nous aborderons les systèmes à plusieurs degrés de libertés : libres, forcés et amortis. Finalement, nous considérons les ondes à travers une chaine linéaire d’atomes pour laquelle nous déduisons la relation de dispersion. Celle-ci est utilisée dans le cas d’ondes stationnaires pour retrouver les résultats obtenus dans le cas des systèmes oscillatoires de degré de liberté fini. Cet ouvrage est destiné pour les étudiants de première et deuxième année poursuivant des études de sciences et de technologies.

Par exemple, dans un système mécanique, l’énergie passe de la forme potentielle à la forme cinétique : une corde vibrante aura son énergie sous forme entièrement potentielle au moment où elle passe par son maximum d’élongation. Dans un circuit RLC, l’énergie est sous forme potentielle quand la tension est maximale aux bornes du condensateur. Si on injecte une énergie potentielle au moment où l’énergie potentielle déjà emmagasinée est maximale, l’énergie ainsi injectée s’ajoute à l’énergie déjà emmagasinée et l’amplitude de l’oscillation va augmenter, ainsi que l’énergie totale. De la même façon, si on injecte de l’énergie cinétique au moment où l’énergie cinétique est maximale, l’énergie totale augmentera. Le phénomène de résonance n’est rien d’autre que cet effet d’accumulation de l’énergie en injectant celle-ci au moment où elle peut s’ajouter à l’énergie déjà accumulée, c’est-à-dire  en phase  avec cette dernière.

Quand l’excitation aura cessé, le système résonant va être le siège d’oscillations amorties : il va revenir plus ou moins vite à son état d’équilibre stable. Un système peu amorti sera le siège d’un grand nombre d’oscillations qui diminueront lentement avant de disparaître complètement. Si on soumet un système peu amorti à une excitation périodique permanente selon sa fréquence de résonance, l’énergie ainsi apportée va s’accumuler lentement et se traduira par des oscillations de grande amplitude. En régime stabilisé, l’énergie apportée à chaque période est égale à l’énergie dissipée, ce qui explique la grande amplitude des oscillations du système peu amorti. En électricité, on peut chiffrer l’amortissement en définissant le  coefficient de surtension  ou la  sélectivité . Implicitement, l’introduction concerne des systèmes à un degré de liberté ou supposés tels dont l’évolution est décrite par un seul paramètre fonction du temps. Si on couple deux pendules par un ressort, le système est alors décrit par les inclinaisons généralement distinctes des deux pendules.

Ce système à deux degrés de liberté possède deux modes propres dans lesquels les pendules oscillent à la même fréquence. Toute oscillation libre est une somme des deux modes propres correspondants et, face à une excitation sinusoïdale, chacun d’eux peut engendrer une résonance. Ces remarques se généralisent à des systèmes qui possèdent un nombre quelconque de degrés de liberté. Généralement, l’importance relative de l’amortissement s’accroît à mesure que s’élève l’ordre des modes, ce qui fait qu’il est suffisant de s’intéresser aux tout premiers modes, dans les problèmes techniques si ce n’est en musique. Dans les domaines moyenne et haute fréquence, on utilise des méthodes adaptées à la densité spectrale élevée. Les domaines moyenne fréquence et haute fréquence sont définis par la densité spectrale. En effet, l’expression en fréquences n’a pas de sens pour définir ces domaines, une similitude sur un système physique modifie les fréquences propres mais le spectre reste semblable, à un facteur près.

Cette formule montre, ce qui se généralise qualitativement à des systèmes beaucoup plus complexes, voire non-linéaires, que la fréquence propre croît avec la raideur et décroît lorsque l’inertie augmente. Quantitativement, pour un système linéaire, la généralisation se ferait en définissant un effort généralisé, en projetant les efforts extérieurs sur le mode concerné. Un mode n’est pas excitable sur les nœuds de vibration. L’amplification ne varie pas seulement en fonction de la fréquence.

Elle dépend également de l’amortissement du système : lorsque celui-ci décroît, l’amplification augmente dans une bande de fréquences de plus en plus étroite. Ce phénomène d’amplification est mis à profit dans divers domaines pour séparer une fréquence déterminée de ses voisines. Dans ce dernier cas, on cherche soit à l’atténuer en augmentant l’amortissement, soit à déplacer la fréquence propre en jouant sur l’inertie ou sur la raideur. La résonance permet de trier certaines fréquences, mais ne produit pas d’énergie. Article détaillé : Cycle à deux temps. Le pot d’échappement d’un moteur à deux temps a une forme bien particulière, calculée pour créer un phénomène de résonance qui améliore les performances du moteur en diminuant la consommation et la pollution. Chaque station de radio émet une onde électromagnétique avec une fréquence bien déterminée.

D’une façon générale, tous les systèmes de radiocommunications, qu’ils soient émetteur ou récepteur, utilisent des résonateurs pour  filtrer  les fréquences des signaux qu’ils traitent : circuit RLC, résonateurs à quartz, résonateurs céramique, etc. Article détaillé : imagerie par résonance magnétique. Deux ans plus tard, Paul Lauterbur traduit le signal en images à deux dimensions. Apparaît alors l’imagerie par résonance magnétique proprement dite. L’IRM subira encore quelques évolutions : le britannique Peter Mansfield applique la RMN des objets à structure interne complexe. Il deviendra, grâce à ses expériences poussées, l’un des pionniers de l’Imagerie par Résonance Magnétique dans des applications médicales. L’IRM utilise la résonance magnétique des protons d’un organisme pour fabriquer des images.

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